[Искра]

Математический анализ (в 2-х томах)


Год: 1975
Автор: Берс Л.
Издательство: Высшая школа
Язык: Русский
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Количество страниц: 520+544
Описание: Переведенная с английского языка книга Липмана Берса представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа (в элементами аналитической геометрии) и предназначается для первоначального ознакомления с предметом.
Книгу отличает большая тщательность в подборе и расположении материала, наглядность, соединяющаяся с высоким научным уровнем, а также органическая связь «чистой» математики и ее приложений. Первый том посвящен введению в анализ, дифференциальному и интегральному исчислению функций одной переменной. Второй том посвящен аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, рядам, дифференциальному и интегральному исчислению функций нескольких переменных. Предназначается в качестве учебного пособия для студентов втузов; может быть также использована преподавателями высших учебных заведений.

ТОМ 1

От редактора
Предисловие к русскому изданию I. Числа

§ 1. Рациональные числа. Потребность в расширении понятия числа
1.1. Положительные дроби
1.2. Рациональные числа .
1.3. Несоизмеримые отрезки

§ 2. Сложение и умножение
2.1. Переменные
2,2. Аксиомы поля
2.3. Следствия из аксиом поля Упражнения
2.4. Целые числа. Степени . Упражнения
2.5. Геометрическая прогрессия Упражнения

§ 3. Неравенства
3.1. Обозначения . Упражнения
3.2. Другие аксиомы . Упражнения
3.3. Решение неравенств. Упражнения
3.4. Аксиома Архимеда . Упражнения
3.5. Абсолютная величина . Упражнения
3 6. Рациональные числа, определенные с помощью аксиом .

§ 4. Десятичное представление рациональных чисел
4.1. Позиционные системы счисления
4.2. Десятичные дроби
4.3 Бесконечные десятичные дроби .
4.4. Периодические десятичные дроби .
4.5. Вычисления с десятичными дробями . Упражнения .

§ 5. Действительные числа
5.1. Определение действительного числа . Упражнения .
5.2. Вычисления с действительными числами .
5.3. Геометрическое истолкование действительных чисел: числовая прямая .
5.4 Корни . Упражнения
5.5. Дробные степени . Упражнения
5.6. Интервалы . Упражнения
Приложение к главе І

§ 6. Полнота системы действительных чисел. Индукция
6.1. Границы . Упражнения
6 2. Принцип наименьшего целого числа
6.3. Математическая индукция . Упражнения
6.4. Принцип верхней грани Упражнения .
6.5. Аксиомы действительных чисел

§ 7. Приближенные вычисления
7.1. Оценка точности ( Упражнения
7.2. Округление десятичных дробей. Упражнения

§ 8. Рациональные и иррациональные числа
8.1. Геометрическое построение произведения и частного
8.2. Следствия из аксиом поля Упражнения
8.3 Периодичность рациональных десятичных дробей Упражнения
8 4. Плотность (61).
8.5. Сумма и произведение действительных чисел
8.6. Другая точка зрения (62). Задачи (63).

Глава 2. Координаты
§ 1. Координаты точки. Формула расстояний
1.1. Декартова система координат (66). Упражнения
1.2. Перенос системы кординат (68). Упражнения
1.3. Формула расстояний (69).
1.4. Координаты в пространстве (71). Упражнения

§ 2. Прямая линия
2.1. Линейные уравнения (72). Упражнения
2.2. Наклон (75). Упражнения
2.3. Параллельные и перпендикулярные прямы Упражнения
2.4. Уравнения прямых (78). Упражнения

§ 3. Окружность
3.1. Уравнение окружности (79). Упражнения
3.2. Касательная (81). Упражнения

§ 4. Парабола
4.1. Определение параболы
4.2. Свойства параболы (84). Упражнения
4.3. Парабола с вертикальной осью Упражнения
4.4. Касательная (87). Упражнения
Приложение к главе 2

§ 5. Квадратура параболы
5.1. Теорема Архимеда (.
5.2. Доказательство Архимеда
5.3. Сумма квадратов (91). Упражнения

§ 6. Геометрия и числа
6.1. Аксиоматическая геометрия
6.2. Аналитическая геометрия
6.3. Алгебраический вывод аксиом
6.4 Пространства более чем трех измерений (95). Упражнения . Задачи

3. Функции

§ I. Функции и графики
1.1. Функции
1.2. Переменные, обозначающие функции . Упражнения
1.3. Сумма, разность, произведение и частное функций
1.4. Композиция функций . Упражнения
1.5. Графики
1.6. Монотонные функции
1.7. Четные и нечетные фуния
1.8. Приложения функций (109). Упражнения .

§ 2. Многочлены, рациональные и иррациональные функции. Введение в теорию пределов
2.1. Линейные функции
2.2. Квадратичные функции (111) Упражнения
2.3. Многочлены
2.4. Деление «углом» (И
2.5. Корни многочленов (113). Упражнения
2 6. Рациональные функции (115). Упражнения .
2.7. Иррациональные функции (116). Упражнения
2.8. Расширение области определения рациональной функции
2.9. Пределы рациональных функций
2.10. Пределы других функций (118). Упражнения

§ 3. Непрерывные функции
3.1. Примеры (120). Упражнения
3.2. Определение непрерывности (123) Упражнения
3.3. Непрерывность суммы. разности. произведения и частного
3 4. Непрерывность рациональных функций (
3.5. Непрерывность композиции функций (127). Упражнения
3.6. Промежуточные значения (128). Упражнения
3.7. Обратная функция (129). Упражнения
3.8. Непрерывность иррациональных функ-ций

§ 4. Пределы
4.1. Определение предела (133). Упражнении
4.2 Вычисление пределов (135). Упражнения
4.3. Обобщения (137). Упражнения
Приложение к главе 3

§ 5. Односторонние пределы, бесконечные пределы и пределы на бесконечности
5.1. Односторонние пределы (НО). Упражнения
5.2 Бесконечные пределы (141). Упражнения
5.3. Пределы на бесконечности (143). Упражнения
5.4. Вычисление бесконечных пределов (145). Упражнения
§ 6. Доказательства . некоторых теорем о непрерывности
6.1. Сумма, разность, произведение и частное . Упражнения
6.2. Композиция функций (149). Упражнение
6.3. Обратная функция (149). Упражнение
6.4 Вычисление бесконечных пределов Упражнения

§ 7. Доказательство теоремы о промежуточном значении
7.1. Доказательство (150). Упражнения
7.2.Необходимость доказательств . Задачи

4. Производные 153

§ 1. Производная функции. Касательная. Скорость
1.1. Производная — наклон касательной (154). Упражнения
1.2. Построение касательной (156). Упражнения
1.3. Определение производной
1.4. Касательная и нормаль .
1.5. Вычисление производной исходя из ее определения . Упражнения .
1.6. Производная — новая функция (161). Упражнения
1.7. Обозначение Лейбница (163). Упражнения
1.8. Теорема о линейном приближении (165). Упражнения
1.9. Поимеиение пооиївоп.
ных для вычисления значений функций (166). Упражнения
1.10. Непрерывность дифференцируемых функций.
1.11. Прямолинейное движение
1.12. Равномерное движение
1.13. Скорость неравномерного движении (169). Упражнения
1.14. Свободное падение (170). Упражнения
1.15. Быстрота изменения (172). Упражнения

§ 2. Дифференцирование
2.1. Основные правила (173). Упражнения .
2.2. Набросок доказательств
2.3. Дифференцирование степеней
2.4 Производные многочленов и рациональных функций (179). Упражнения .
2.5. Цепное правило (180). Упражнения
2.6. Производные обратных функций Упражнения
2.7. Дифференцирование степеней с рациональными показателями
2.8. Проичнодные иррациональных функций (186). Упражнения
2.9 Недифференцируемые функции

§ 3. Производные высших порядков. Ускорение
3.1 Производные производных (190). Упражнения
3.2. Ускорение
3.3. Закон Ньютона (193). Упражнения
3.4. Закон Эйнштейна (195) Упражнения
3.5 Предположения дифференцируемое в физике

§ 4 Знаки производных. Максимумы и минимумы
4.1 Предварительный результат
4 2 Функции с производными одного знака
4.3. Функции с неотрицательными и неположительными производными. Упражнения
4.4 Локальные максимумы и минимумы . Упражнения
4 5. Кусочно-монотонные функции
4.6. Абсолютные максимумы и минимумы . Упражнении
4.7. Существование максимумов и минимумов .
4.8. Разыскание максимумов и минимумов . Упражнения

§ 5. Первообразные функции 218
5.1. Определение первообразной функции (218).
5.2. Единственность (218).
5.3. Простое дифференциальное уравнение (219).
5.4. Разыскание первообразных (220). Упражнения (221).
5.5 Инерция (222)
5.6. Вертикальное движение под действием силы тяжести (222). Упражнения (224).
5.7. Релятивистское движение под действием постоянной силы (224). Упражнения (225).
5.8 Площадь под параболой (225). Упражнении (227).
Приложение к главе 4 227

§ 6. Доказательство правил дифференцирования 227
6.1. Производная произведения (227).
6.2. Производная от функции, обратной данной в алгебраическом смысле (228) Упражнения (229).
6.3. Доказательство цепного правила
6.4. Производная обратной функции

§ 7. Односторонние производные. Бесконечные производные. Дифференцируемые и недифференцируемые функции 230
7.1. Односторонние производные (230). Упражнения (231).
7.2. Бесконечные производные (232).
7.3 Пределы производных (233).
Упражнения

§ 8. Доказательства некоторых теорем о производных
8.1. Функции с положительной производной (234). Упражнения (235).
8.2. Функции с положительной второй производной (235). Упражнение (236).
8.3. Пределы производных (236). Упражнение (237). Задачи (237).

5. Интегралы
§ I. Интеграл от функции. Площадь под кривой
1.1. Интеграл от неотрицательной функции (240).
1.2. Интеграл от функции, принимающей отрицательные значения (242). Упражнения (243).
1.3. Три основных свойства (244).
1.4. Кусочно-непрерывные функции, ограниченные функции (246).
1.5. Ступенчатые функции (247).
1.6. Вычисление интеграла (247).
1.7. Оценка погрешности для монотонной функции (248). Упражнения (250).
1.8 Аналитическое определение интеграла (253).
1.9. Расширение обозначений (254). Упражнения (255).

§ 2. Основная теорема анализа
2.1. Первая часть основной теоремы (256). Упражнения (259).
2.2. Вторая часть основной теоремы (260). Упражнения (262).
2.3. Неопределенный интеграл (262). Упражнения (263).
2.4. Инерционная навигация (264). Упражнения (265).

§ 3. Интегрирование
3.1. Численное и формальное интегрирование (266).
3.2. Основные правила интегрирования (266)4 Упражнения (268).
3.3. Интегрирование по частям (269).
3.4. Язык дифференциалов (270). Упражнения (272).
3.5. Замена переменных (273).
3.6. Интегралы от четных п нечетных функций (276). Упражнения (277).
3.7. Замечание о несобственных интегралах (278).

§ 4. Площадь. Объем. Длина
4.1. Вычисление площадей (278).
4.2. Определение площади (281). Упражнения (284).
4.3. Плошадь круга. Число я (285).
4 4. Вычисление объемов (286).
4.5. Определение объема (290). Упражнения (290).
4.6. Тела вращения (290).
4.7 Шары и круговые конусы (293). Упражнения (295)
4.8 Длина (296). Упражнения (298).
4.9. Круговые секторы. Длина окружности (299). Упражнения (301).
Приложение к главе 5

§ 5. Энергия
5.1. Силы, зависящие от положення (302). Упражнения (302).
5.2. Работа (303). 5
5.3. Потенциальная энергия (304). Упражнения (305).
5.4. Кинетическая »нергия. Закон сохранения энергии (305).
5.5. Свободное падение (306). Упражнения (307).
5.6. Тяготение (308).
5.7 Скорость убегания (309). Упражнения (311).
5.8. Энергия и масса а теории относительности (311).

§ 6. Несобственные интегралы
6.1. Неограниченные подынтегральные функции (312).
6.2. Бесконечные области интегрирования (314).
6.3. Другие примеры (314). Упражнения (315).
6.4. Теорема сравнения , (316). Упражнения (317).
6.5. Некоторые интегральные функции, содержащие я (317). Упражнения (320

§ 7. Доказательство основной теоремы 3
7.1. Доказательство непрерывности (320).
7.2. Вычисление производной (321).

§ 8. Существование интегралов
8.1. Интегралы от ступенчатых функций (322).
8.2. Верхние и нижние интегралы (324).
8.3. Свойстве верхних и нижних интегралов (326).
8.4. Интеграл Римана (328).
8.5. Вычисление интегралов с помощью ступенчатых функций (329).
8.6. Монотонные функции (329). Упражнения (330).

§ 9. Существование несобственных интегралов
9.1. Пределы монотонных функций (330).
9.2 Доказательство теоремы сравнения (330). Упражнения (331). Задачи (331).

6. Трансцендентные функции 5
§ 1. Синус и косинус 2
1.1. Алгебраические и трансцендентные функции (336). Упражнения (337).
1.2. Периодические функции (337).
1.3. Геометрическое определение синуса и косинусе (339). Упражнения (341).
1.4. Углы (342).
1.5. Треугольники (343).
1.6. Градусы и радианы (343). Упражнения (345).
1.7. Обратные функции для синуса н косинуса (345). Упражнения (348).
1.8. Повторение (349).
1.9. Дифференцирование синуса н косинуса (350). Упражнения (351).
1.10. Дифференциальное уравнение для синуса и косинуса (352). Упражнения (354).
1.11. Теорема сложения (354). Упражнения (356).
1 12. Дифференциальное уравнение второго порядка (356).
1.13. Движение упругой пружины (357).
1.14. Гармонические колебания (358). Упражнения (359).

§ 2. Тангенс и арктангенс
2.1. Тангенс (360) Упражнения (361).
2.2. Теорема сложения (362).
2.3. Функции sin 0 и cos О как рациональные функции от lg (в/2)Упражнении (364).
2.4. Арктангенс. Упражнения (366).
2.5. Применения арктангенса к интегрированию (367). Упражнения (367).

§ 3. Другие круговые функции . Упражнения (474).
4.4. Произведения степеней синуса и косинуса (475). Упражнения (478).
4.5. Произведения синусов и косинусов (478). Упражнения (479).
Приложение к главе 7 1

§ 5. Сводка формул интегрирования ''
5.1. Основные правила (480).
5.2. Степени. Рациональные функции (480).
5.3. Некоторые иррациональные функции (481).
5.4. Тригонометрические функции. Основные формулы (481).
5.5. Степени и произведения тригонометрических функций (482).
5.6. Обратные тригонометрические функции (482).
5.7. Показательная и логарифмическая функции ''(483).
5.8 Рационализируемые интегралы (483). Задачи (484).
Решения упражнений. помеченных знаком Д''

Алфавитный указатель
Указатель основных обозначений

ТОМ 2

§ 1. Теоремы о конечном приращении
1.1. Формулировка теоремы о конечном приращении
1.2. Теорема Ролля
1.3. Доказательство теоремы о конечном прнра щении (12). Упражнения
1.4. Обобщен ная теорема о конечном приращении (13) Упражнения
1.5. Погрешность линейно го приближения (15). Упражнения

§ 2. Теорема Тейлора
2.1. Параболическое приближение (18). Упражнения (20).
2.2. Многочлены Тейлора (20). Упражнения (24).
2.3. Теорема Тейлора (24). Упражнения (25).
2.4. Биномиальная теорема (26). Упражнения (27).
2.5. Биномиальные коэффициенты для произвольного показателя (27). Упражнения (28).
2.6. «Элементарные» варианты формулы Тейлора (29).
2.7. Вычисление логарифмов (29).
2.8. Вычисление Я (31). Упражнения (33).
2.9. Формула Тейлора для показательной функции (33).
2.10. Формулы Тейлора для синуса и косинуса (34). Упражнения (34).
2.11. Сигма-символика (34). Упражнения (36).
2.12. Сводка формул Тейлора (37).

§ 3. Бесконечные последовательности
3.1. Сложение бесконечного множества чисел (39).
3.2. Необходимость в точности (40).
3.3. Бесконечные последовательности (41). Упражнения (42).
3.4 Сходящиеся последовательности. Пределы (43). Упражнения (45).
3.5. Свойства пределов (46). 3.6. Вычисление пределов (47).
3.7. Расходящиеся последовательности (49). Упражнения (51).
3.8. Монотонные последовательности (52). Упражнения (53).
3.9. Постоянная Эйлера (54).

§ 4. Бесконечные ряды
4.1. Частные суммы (55).
4.2. Сходящиеся ряды (56). Упражнения (58).
4.3. Необходимое условие сходимости (58).
4.4. Расходящиеся ряды (59). Упражнения (60).
4.5. Геометрическая прогрессия (60).
4 6. Операции над рядами (62). Упражнения (62).
4.7. Ряды с положительными членами (63).
4.8. Признак сравнения (63).
4.9. Десятичные дроби как ряды (64). Упражнения (64).
4.10. Интегральный признак (65). Упражнения (67).
4.11. Критерий частных (68). Упражнения 69).
4.12. Знакопеременные ряды (70).
4.13. Абсолютная сходимость (70).
4.14. Перестановка членов (71). Упражнения (72).
4.15. Умножение рядов по Коши (72). Упражнения (73).

§ 5. Степенные ряды 74
5.1. Сходящиеся и расходящиеся степенные ряды (74).
5.2. Радиус сходимости (75).
5.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов (76). Упражнения (77).
5.4 Ряд Тейлора (78). 5.5. Аналитические функ ции (79). Упражнения (80).
5.6. Примеры ря дов Тейлора (80). Упражнения (82).
5.7. Би номиальный ряд (83). Упражнения (85).
5.8 Умножение степенныв рядов (85).
5.9. Деление степенных рядов (86). Упражнения (87).
5.10. Четные н нечетные функции (88). Упражнения (88).
5.11. Подстановка ряда в ряд (89). Упражнения (90).
5.12. Примечание (90).
Приложение к главе 8

§ 6. Правило Лопиталя
6.1. Неопределенности вида 0/0. (90). Упражнения (91).
6.2. Неопределенности вида оо/ао (92).
6.3. Обобщения (93). Упражнения (93).
6.4. Другие неопределенные выражения (94). Упражнения (95).

§ 7. Доказательства сходимости
7.1. Монотонные последовательности (95). Упражнение (96).
7.2. Перестановка членов ряда (96). Упражнения (99).
7.3. Произведение в смысле Коши (99).

§ 8. Радиус сходимости 100
8.1. Лемма Абеля (100).
8.2. Радиус сходимости (101).
8.3. Дифференцирование и интегрирование рядов (101).
8.4. Доказательство непрерывности (102).
8.5. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов (103). Упражнения (104).

§ 9. Погрешности методов численного интегрирования
9.1. Оценка для правила трапеций (104). Упражнения (105).
9.2. Оценка для правила Симпсона (105). Упражнения (107). Задачи (107).

9. Векторы
§ 1. Векторная алгебра
1.1. Направленные отрезки (112).
1.2. Векторы (114). Упражнения (115).
1.3. Сложение векторов (115).
1.4. Доказательства законов сложения (116).
1.5. Произведение вектора на число (118).
1.6. Доказательства законов умножения вектора на число (119). Упражнения (121).
1.7. Векторы на плоскости и в пространстве (121).
1.8. Базисы и реперы на плоскости (121).
1.9. Координаты (123). Упражнения (124).
1.10. Упорядоченные пары чисел как векторы (124). Упражнения (125).
1.11. Произвольный базис. Независимость (125). Упражнения (126).
1.12. Базисы и реперы в пространстве (126). Упражнения (128).

§ 2. Радиус-вектор
2.1. Радиус-вектор точки (128).
2.2. Деление отрезка в данном отношении (130). Упражнения (131).
2.3. Векторные доказательства геометрических теорем (131). Упражнения (133).
2.4. Радиус-вектор в пространстве (134).

§ 3. Полярные координаты
3.1. Полярный угол вектора (135).
3.2. Полярные координаты (135). Упражнения (137).
3.3. Уравнения линий в полярных координатах (138).
3.4. Изображение кривых (139). Упражнения (140).

8. Ряды

§ 4. Прямые и плоскости в пространстве 142
4.1. Формула деления (142). Упражнения (143).
4.2. Параметрическое представление прямой (143). Упражнения (145).
4.3. Уравнения плоскостей (145). Упражнения (148).
4.4. Параллельные плоскости (148).
4.5. Уравнения прямых (149). Упражнения (152).
4.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей (152). Упражнения (154).
4.7. Сфера (155). Упражнения (156).

§ 5. Цилиндрические и сферические координаты
5.1. Цилиндрические координаты (157).
5.2. Поверхности вращения (159), Упражнения (160).
5.3. Сферические координаты (160). Упражнения (163).
Приложение к главе 9 163

§ 6. Скалярное произведение 163
6.1. Определение скалярного произведения (163).
6.2 Вычисление скалярного произведения (164). Упражнения (165).
6.3. Свойства скалярного произведения (165).
6.4. Применение свойств скалярного произведения (166). Упражнения (168).
6.5. Направ-ляюіцие косинусы. Единичные векторы (168).
6.6. Угол между двумя прямыми (170). Упражнения (170).
6.7. Нормаль к плоскости. Угол между плоскостями (171).
6.8. Расстояние от точки до плоскости (172).
6.9. Расстояние от точки до прямой (173). Упражнения (173).

§ 7. n-мерные пространства
7.1. Пространство л-наборов (174). Упражнения (175).
7.2. Прямые и гиперплоскости (175). Упражнения (175).
7.3. n-мерное евклидово пространство (176).
7.4. Углы (176). Упражнения (177). Задачи (177).

10. Квадрики 179

§ 1. Коники 180
1.1. Конические сечения (180).
1.2. Канонические уравнения (182).
1.3. Асимптоты (184).
1.4. Фокусы и директрисы. Эксцентриситет (185). Упражнения (187).
1.5. Геометрические свойства коник (187). Упражнения (193).
1.6. Касательные (193). Упражнения (197).
1.7. Коники в полярных координатах (197). Упражнения (199).
1.8. Параметрические уравнения (200). Упражнения (202)

§ 2. Повороты 202
2.1. Отражения и повороты. Ориентация (202). Упражнения (205).
2.2. Замена системы координат (206).
2.3. Поворот осей координат (207). Упражнения (209).
2.4. Направленный угол между прямыми (209). Упражнения (211).
2.5. Биссектрисы угла (212). Упражнения (213).
2.6. «Зеркальные» свойства коник (213). Упражнения (215).
2.7. Ориентация в пространстве (215).

§ 3. Квадрики на плоскости
3.1. Алгебраические кривые (216). Упражнения (217).
3.2. Кривые второго порядка (218).
3.3. Дискриминант и след (218).
3.4. Основная теорема. Исключение смешанного члена (220). Упражнения (221).
3.5. Исключение линейных членов (222). Упражнения (223).
3.6 Положительный дискриминант (223).
3.7. Отрицательный дискриминант (224).
3.8. Нулевой дискриминант (225). Упражнения (228).
Приложение к главе 10 228

§ 4. Квадрики в пространстве 228
4.1. Поверхности второго порядка (228).
4.2. Вырожденные случаи. Цилиндры (228).
4.3. Конусы (229).
4.4. Эллипсоид (230).
4.5. Гиперболоиды (232).
4.6. Параболоиды (232). Упражнения (233).
4.7. Линейчатые поверхности (235). Упражнения (236).
4.8. Замена системы координат в пространстве (236).
.9. Плоские сечения поверхностей второго порядка (237).
4.10. Вращения и отражения в пространстве (238). Упражнения (239).
4.11. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (239). Упражнения (241). Задачи (241).

11. Векторные функции скалярного аргумента

§ 1. Математический анализ векторных функций
1.1. Векторные функции скалярного аргумента (244).
1.2. Кинематическая интерпретация (244).
1.3. Координаты векторной функции (245). Упражнения (246).
1.4. Применение математического анализа к исследованию векторных функций (247).
1.5. Основные правила математического анализа . Упражнения (249).
1.6. Независимость от базиса (251). Упражнения (253).

§ 2. Ориентированные линии
2.1. Параметрическое представление (253).
2.2. Определение ориентированной линии (254).
2.3. Дуги кривой (255). Упражнения (257).
.4. Непараметрическое представление (257). Упражнения (260).
2.5. Циклоида (261). Упражнения (262).
2.6. Формула площади в полярных координатах (262). Упражнения (265).

§ 3. Касательная, длина, кривизна 266
3.1. Гладкие кривые (266).
3.2. Непараметрическое представление (267).
3.3. Единичный касательный вектор (2671.
3.4. Полярный угол касательного вектора (269). Упражнения (270).
3.5. Формулы в полярных координатах (270). Упражнения (272).
3.6. Единичный нормальный вектор (272). Упражнения (272).
3.7. Длина кривой (272).
3.8. Независимость от параметра (274).
3.9. Аддитивность (275).
3.10. Сравнение с прежней формулой длины (275). Упражнения (276).
3.11. Формула длины в полярных координатах (277). Упражнении (277).
3.12 Длина дуги как параметр (277). Упражнения (278).
3.13. Кривизна (279).
3.14. Знак кривизны (280).
3.15. Кривизна графиков (281).
3.16. Радиус кривизны. Окружность кривизны (282). Упражнения (283).
3.17. Кусочно-гладкие линии. Особые точки (283).
3.18. Пространственные кривые (284). Упражнения (284).

§ 4. Движение 285
4.1. Криволинейное движение (285).
4.2. Скорость и ускорение (285).
4.3. Вращательное движение (287).
4.4. Касательное и нормальное ускорения (288). Упражнения (291).
4.5. Закон движения (291).
4.6. Движение брошенного тела (292). Упражнения (294).
4.7. Движение по заданной траектории (295).
4.8. Движение по наклонной плоскости (296).
4.9. Математический маятник (297).
4.10. Движение планет. Второй закон Кеплера (299).
4.11. Применение первого закона Кеплера (301).
4.12. Применение третьего закона Кеплера (302).
4.13. Небесная механика (304). Упражнения (305).
Приложение к главе 11 306

§ 5. Движение по заданному пути
5.1. Решение уравнения (306).
5.2. Периодическое движение (307).

§ 6. Движение систем
6.1. Две взаимно притягивающиеся частицы (312).
6.2. Задача двух тел (313). Упражнения (314).
6.3. Третий закон Ньютона. Линейный импульс (314).
6.4. Центроид N частиц (315). Упражнения (316).
6.5. Твердое тело (316).
6.6. Свойство аддитивности (316).
6.7. Положение центроида (317).
6.8. Свойство симметрии (317). Упражнения (318). Задачи (318).

12. Частные производные
§ I. Функции нескольких переменных 322
1.1. Функции двух переменных (322). Упражнения (323).
1.2. Интервалы (323).
1.3. Непрерывность (325). Упражнения (327).
1.4. Функции трех и большего числа переменных (327). Упражнения (328).
1.5. Предельные точки. Пределы (328).
1.6. Открытые множества Границы (330). Упражнения (331).
1.7 Геометрическая и физическая интерпретации (331).
§ 2. Производные функций нескольких переменных 333
2.1. Частные производные (333). 2.2. Обозначения частных производных (335). Упражнения (335). 2.3. Дифференцируемые функции (336). 2.4. Касательная плоскость (337), 2.5. Частные производные дифференцируемой функции (337). 2.6. Непрерывно дифференцируемые функции (340). 2.7. Нормаль к поверхности (341). Упражнения (342). 2.8. Цепное правило для функций двух переменных (343). 2.9. Производная в заданном направлении (345). 2.10. Градиент (347). 2.11. Ли-нин уровня (347). Упражнения (349). 2.12. Дифференцирование неявной функции (350). Упражнения (351). 2.13. Дифференцирование функций трех и большего числа переменных (351). 2.14. Цепное правило для функций любого числа переменных (353). 2.15. Градиент, производная в заданном направлении и поверхности уровня (354). Упражнения (356).
2.16. Функции с нулевым градиентом (356).
2.17. Дифференцирование под знаком интеграла (357). Упражнения (359).
) 3. Частные производные высших порядков 360 3.1. Вторые частные производные. Равенство смешанных производных (360). Упражнения (361). 3.2. Функции с заданными частными производными (361). Упражнения (366). 3.3. Высшие производные (367). Упражнения (368). 3.4. Критические точки (368). 3.5. Максимум и минимум (370). Упражнения (372). 3.6. Производные высших порядков для функций более чем двух переменных (372). Упражнения (373). 3.7. Функции с наперед заданным градиентом (373). Упражнения (375).
§ 4. Криволинейные интегралы 375
4.1. Определение и обозначения (375). Упражнения (377). 4.2. Независимость от параметра (377). 4.3. Свойства криволинейных интегралов (378). Упражнения (380). 4.4. Язык дифференциалов (381). Упражнения (382). 4.3. Независимость от пути (382). Упражнения (386). 4.6. Гомотопные пути. Односвя-зные области (386). Упражнения (389).
Приложение к главе 12
§ 5. Энергия при криволинейном движении 390
5.1. Векторные обозначения для криволиней-
ных интегралов (390). 5.2. Работа (391). Упражнения (393). 5.3. Потенциальная энергия. (393). Упражнения (394). 5.4. Сохранение энергии (394). Упражнения
§ 6. Доказательства некоторых теорем о частных производных 395
6.1. Дифференцируемые функции (395). 6.2. Цепное правило (397). 6.3. Смешанные производные (398).
§ 7. Теорема Тейлора
7.1. Теорема Тейлора для функции двух переменных. Частные случаи (399). 7.2. Теорема Тейлора для функции двух переменных. Общий случай (401). 7.3. Классификация критических точек (403). 7.4. Теорема Тейлора для функции п переменных (405). Упражнения (407). Задачи (407)
13. Кратные интегралы
§ 1. Двойные интегралы
1.1. Двойной интеграл от неотрицательной функции по интервалу (410). 1.2. Двойной интеграл как повторный интеграл (411). 1.3. Функции, принимающие значения разных знаков (417). Упражнения (418). 1.4. Кусочно-непрерывные функции (4і9). Упражнения (420). 1.5. Аналитическое определение интеграла (420). 1.6. Свойства интеграла (421). 1.7. Ступенчатые функции (423). Упражнения (425). 1.8. Суммы Римана (425). Упражнения (426). 1.9. Двойной интеграл по произвольному множеству (427). 1.10. Свойства двойного интеграла в общем случае (429). Упражнения (434). 1.11. Двойные интегралы в полярных координатах (435). Упражнения (438).
§ 2. Площадь поверхности
2.1. Площадь плоской области (439). 2.2. Площадь наклонной плоской области (440). 2.3. Формула площадей (442). Упражнения (444).
2.4. Поверхности вращения (445). Упражнения (447).
§ 3. Тройные интегралы
3.1. Кусочно-непрерывные функции
3.2. Вычисление тройного интеграла (448). Упражнения (450). 3.3. Объем (450). Упражнения (451). 3.4. Интегрирование в цилиндрических координатах (451). Упражнения (453).
3.5. Тела вращения (454). Упражнения (455).
3.6. Интегрирование в сферических координатах (455). Упражнения (458). 3.7. Плотность (458). Упражнения (459). 3.8. Гравитационная сила (460). Упражнения (461). 3.9. Сферическая симметрия (462). Упражнения (464).
§ 4. Интегрирование функций п переменных
4.1. Подынтегральные функции и области интегрирования (464). 4.2. Вычисление интеграла (464). Упражнения (465). 4.3. Объем в n-мерном пространстве (466). Упражнения (467).
Приложение к главе 13
§ 5. Центроиды 467
5.1. Центроиды материальных тел, пластинок и струн (467). Упражнения (468). Ь2. Центроиды областей (469). 5.3. Координаты центроидов (469). Упражнения (470). 5.4. Аддитивность я симметрия (470). Упражнения (472). 6.5. Теоремы Папаа (473). Упражнения (475).
§ 6. Формула Грина
6.1. Формулировка теоремы (475). Упражнения (476). 6.2. Частные случаи (477). Упражнения (478). 6.3. Набросок доказательства (478). Упражнение (480). 6.4. Обобщение (480). Упражнения (481). § 7. Несобственные кратные интегралы 481 7.1. Неограниченные подынтегральные функции (481). Упражнения (483). 7.2. Интегрирование по неограниченным областям (484). Упражнения (485). 7.3. Важный пример (486). Упражнения (486).
§ 8. Несколько доказательств 487
8.1. Полярные координаты (487). 8.2. Об определении площади (4§8). Задачи (489).
Дополнение 491
§ 1. Сходимость 492
1.1. Верхний и нижний пределы (492).
1.2. Ограниченные последовательности (492). Упражнения (493). 1.3. Теорема Больцано— Вейерштрасса (493). Упражнение (494). 1.4. Критерий сходимости Коши (404). Упражнение (494). 1.5. Последовательности точек (494).
§ 2. Непрерывные функции 495
2.1. Теорема об ограниченности (495). 2.2. Теорема о наибольшем значении (495). Упражнение (496). 2.3. Теорема Ролля и теорема о среднем значении (496). 2.4. Равномерная непрерывность (496). Упражнения (497). 2.5. Компактные множества (497). Упражнения (498). 2.6. Функции, непрерывные на компактных множествах (498)
§ 3. Дифференцирование под знаком интеграла А
3.1. Формулировка результата (498). 3.2. Доказательство (499).
§ 4. Интеграл Римана А
4.1. Ступенчатые функции (499). Упражнения (501). 4.2. Верхняя и нижняя суммы. Верхний и нижний интегралы (501). 4.3. Функции интегрируемые по Риману (501). Упражнения (502). 4.4. Непрерывные функции (502). 4 5. Покрытие кривой многоугольной областью малой площади (503). 4.6. Кусочно-непрерывные функции (504). Упражнение (505).
§ 5. Повторные интегралы
5 1. Повторные интегралы от непрерывных функций (505). 5.2. Повторные интегралы от ограниченных кусочно-непрерывных функций (506). 5.3. Повторные интегралы и двойные интегралы (508). Задачи (509).
Решения упражнений. помеченных знаком А
Алфавитный указатель
Указатель основных обозначений