[Анфиса]

Теория случайных процессов (3 тома)


Год: 1971
Автор: Гихман И.И., Скороход А.В.
Издательство: Наука
Язык: Русский
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы + слой распознанного текста(только 1 том)
Количество страниц: 665+641+497

Описание: ---------------------Том 1 ---------------------------
Авторы стремились изложить основные результаты, методы и приложения теории случайных процессов, но не ставили себе целью одинаково подробно охватить различные разделы теории.
Они считают, что их труд может оказаться полезным в первую очередь математикам, желающим изучать теорию случайных процессов и имеющим необходимую предварительную подготовку, примерно в объеме трех курсов математических факультетов университетов (включающем общий курс теории вероятностей, теорию меры и интеграла и общий курс функционального анализа). С другой стороны, они надеются, что книга может представить интерес для научных работников и аспирантов, использующих в своей работе методы теории случайных процессов.
Первый том «Теории случайных процессов» посвящен общим вопросам теории случайных функций и теории меры в функциональных пространствах. В нем использован материал из книги авторов «Введение в теорию< случайных процессов». Главы III, IV, V и IX последней в переработанном виде вошли соответственно в главы I, III, IV и VI настоящей книги.

--------------------Том 2 -----------------------------
Второй том «Теории случайных процессов» в основном посвящен марковским процессам. Первая и вторая главы содержат общую теорию марковских и однородных марковских процессов. В последующих главах рассматриваются важные классы марковских процессов: скачкообразные, полумарковские, ветвящиеся процессы и процессы с независимыми приращениями.
Значительная часть результатов этого тома ранее в монографической литературе не излагалась.
Часть материала, относящаяся к теории марковских процессов и не вошедшая в настоящий том, диффузионные процессы и некоторые другие вопросы авторы намерены изложить в третьем томе. Туда же войдет теория стохастических дифференциальных уравнений и управляемые случайные процессы.

------------- Том 3 -----------------
Его содержание составляет теория мартингалов, стохастических интегралов, стохастических дифференциальных уравнений, диффузионных и непрерывных марковских процессов.
Теория случайных процессов — бурно развивающаяся область математики, охватить ее в одном трактате (даже многотомном) —- задача бессмысленная и невыполнимая. Поэтому, естественно, авторы производили отбор материала, руководствуясь своими соображениями о важности тех или иных результатов. Они вполне отдают себе отчет, что их отбор является несовершенным. Тем более, что ряд разделов, которые авторы считают весьма важными, в книгу не вошел: так, в ней отсутствуют предельные теоремы для конкретных классов случайных процессов, теория случайных полей, условные марковские процессы, информация и статистика случайных процессов.

---------- Том 1 ---------------

Предисловие 8
Глава I
Основные понятия теории вероятностей
§ 1. Аксиомы и определения 9
События (9). Вероятность (11). Случайные вели- *
чины (12). Случайные элементы (16). Математическое
ожидание (18). Сходимость по вероятности (19).
Пространства 9?р (21). Распределения случайных
векторов (23). Характеристические функции (2бу. Случайное
время (31).
§ 2. Независимость 34
Определения (34). Независимые случайные
величины (36). Закон 0, или 1 (39).
§ 3. Условные вероятности и условные математические
ожидания 43
Определения (43). Свойства условных математических
ожиданий и условных вероятностей (46). Условное
математическое ожидание относительно случайной
величины (49). Регулярные вероятности (51). Условные
плотности (56).
§ 4. Случайные функции и случайные отображения 58
Определения (58). Построение случайной функции по ее
частным распределениям (63).
Глава II
Случайные последовательности
§ 1. Предварительные замечания 70
$2, Полумартингалы и мартингалы 73
Определения и простейшие свойства (73). Некоторые
неравенства (75). Существование предела (81).
Некоторые применения (84).

§ 3. Ряды 87
Некоторые' общие признаки сходимости рядов (87),
Ряды независимых случайных величин (90). Применения
к усиленному закону больших чисел (94).
§ 4. Цепи Маркова 96
Системы под случайным воздействием (96).
Стохастические ядра (99). Определение цепи Маркова (108).
§ 5. Цепи Маркова со счетным числом состояний 115
Приводимость и неприводимость (115). Возвратность (117).
Периодичность (125). Основная теорема теории
восстановления (128). Предельные теоремы для вероятностей
перехода (133). Критерии возвратности. Стационарные
распределения (136).
§ 6. Случайные блуждания на решетке 147
Неприводимость (147). Возвратные блуждания (152).
§ 7. Локальные предельные теоремы для решетчатых
блужданий 157
§ 8. Эргодические теоремы 165
Преобразования, сохраняющие меру (165). Некоторые
следствия теоремы Биркхофа — Хинчина (172).
Эргодические стационарные последовательности (174).
Глава III
Случайные функции
§ 1. Некоторые классы случайных функций 182
Гауссовские случайные функции (182). Процессы с
независимыми приращениями (188). Марковские процессы (198).
§ 2. Сепарабельные случайные функции 202
Основная теорема (202). Стохастическая
непрерывность (208).
§ 3. Измеримые случайные функции 211
§ 4. Критерий отсутствия разрывов второго рода 215
Функции без разрывов второго рода (215). Некоторые
неравенства (217). Условия отсутствия разрывов второго
рода, использующие частные распределения процесса (221).
Условия отсутствия разрывов второго рода,
использующие условные вероятности (222). Регуляризация
выборочных функций процесса без разрывов второго рода (227).
Мартингалы (228).
§ 5. Непрерывные процессы 230
Условия непрерывности процесса без разрывов второго
рода (230). Процессы с независимыми приращениями (232).
Условие Колмогорова непрерывности случайного
процесса (235). Гауссовские процессы (238).
Глава IV
Линейная теория случайных процессов
§ 1. Корреляционные функции 240
Положительно определенные ядра (240). Процессы,
стационарные в широком смысле (245).
§ 2. Спектральные представления корреляционных функций 253
Стационарные последовательности (253). Однородные
случайные поля (256). Однородные и изотропные поля (261).
Векторные однородные поля (265).
§ 3. Элементы анализа гильбертовых случайных функций . . . 267
Интегрирование (267). Закон больших чисел (270).
Дифференцирование (273). Разложение случайного процесса
в ортогональные ряды (275).
§4. Стохастические меры и интегралы 280
§ 5. Интегральные представления случайных функций 292
§ 6. Линейные преобразования 298
§ 7. Физически осуществимые фильтры 310
§ 8. Прогноз и фильтрация стационарных процессов 325
Метод Винера (330). Метод Яглома (334).
§ 9. Общие теоремы о прогнозе стационарных процессов . . . 344
Прогноз стационарных последовательностей (344).
Прогноз процессов с непрерывным временем (358).
Глава V
Вероятностные меры в функциональных пространствах
§ 1. Меры, соответствующие случайным процессам 365
§ % Меры в метрических пространствах 372
§ 3. Меры на линейных пространствах. Характеристический
функционал 381
§ 4. Меры в пространствах 2?р 390
§ 5. Меры в гильбертовом пространстве 401
Моментные формы (404). Теорема Минлоса — Сазонова (406).
Обобщенные меры в гильбертовом пространстве (409).
§ 6. Гауссовские меры в гильбертовом пространстве 414
Линейные и квадратические функционалы (419).
Линейные и квадратические функционалы от
стационарных гауссовских процессов (424).
Глава VI
Предельные теоремы для случайных процессов
§ 1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах . . . 429
§ 2. Условия слабой сходимости мер в гильбертов©м простран*-
стве 439

§ 3. Суммирование независимых случайных величин со
значениями в гильбертовом пространстве 452
Сходимость рядов, из независимых случайных
величин (454). Безгранично делимые распределения в
гильбертовом пространстве (460). Предельная теорема для
сумм независимых случайных величин (468).
§ 4. Предельные теоремы для непрерывных случайных
процессов » , 478
Сходимость процессов, построенных по суммам
независимых случайных величин (485). Сходимость непрерывных
процессов с независимыми приращениями (492).
Сходимость непрерывных марковских процессов (494).
§ 5. Предельные теоремы для процессов без разрывов второго
рода 496
Метрика в пространстве функций без разрывов второго
рода (496). Основная предельная теорема для процессов
без разрывов второго рода (506). Предельные теоремы
для марковских процессов (508). Применение к
статистике (512).
Глава VII
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих
случайным процессам
§ 1. Общие теоремы об абсолютной непрерывности 518
§ 2. Допустимые сдвиги мер в гильбертовом пространстве . . 528
Допустимые сдвиги взвешенных мер (539). Одно
достаточное условие допустимости сдвига (547).
§ 3. Абсолютная непрерывность мер при отображениях
пространств . . . . 557
§ 4. Абсолютная непрерывность гауссовских мер в
гильбертовом пространстве 574
§ 5. Эквивалентность и ортогональность мер, соответствующих
стационарным гауссовским процессам 584
§ 6. Общие свойства плотностей мер, соответствующих
марковским процессам 600
Глава VIII
Измеримые функции на гильбертовых пространствах
§ 1. Измеримые линейные функционалы и операторы на
гильбертовом пространстве ..... г ... 612
Измеримые линейные операторы (618).
§ 2. Измеримые полиномиальные функции. Ортогональные
полиномы 623
Построение ортогональной системы полиномиальных
функций (626).

§ 3. Измеримые отображения 634
Полиномиальные отображения (636). Разложение
измеримых отображений по ортогональным системам
полиномов (640).
§ 4. Вычисление некоторых характеристик преобразованных
мер 642
Группы преобразований (642). Преобразования, мало
отличающиеся от линейных (643). Формулы взаимности
и другие разложения по малому параметру (645),
Применение ортогональных полиномов (649).
Примечания 661
Литература 656
Указатель 662

---------------- Том 2 ---------------------

Глава I
Общие определения и свойства марковских процессов
§ 1. Марковские процессы в широком смысле 17
Определение (17). Обрывающиеся марковские процессы (19).
Закон входа марковского процесса (21). Операторы, порождаемые вероятностями перехода (23). Уравнения Колмогорова (26). Процессы с конечным или счетным чис­лом состоянии (30). Скачкообразные процессы в широком смысле (35). Процессы с независимыми приращениями (46). Слабо дифференцируемые марковские процессы в широком смысле (50).
§ 2. Марковская случайная функция 55
Определение и простейшие свойства (55). Вероятность пе­рехода (60).
§ 3. Марковские процессы 62
Определения (62). Пополнение основных o'-алгебр (67). Сто­хастически эквивалентные марковские процессы (72). Пост­роение марковского процесса по вероятности перехода (76).
§ 4 Строго марковские процессы 79
Марковские моменты (80). Прогрессивно измеримые функ­ции (82). Строго марковские процессы (87). Критерии строгой марковости (93).
§ 5. Мультипликативные функционалы 97
Мультипликативные функционалы и полустохастическне ядра (97). Одно интегральное уравнение, связанное с муль­типликативными функционалами (106). Подпроцессы (107).
§ 6. Свойства выборочных функций марковских процессов . . 113 Марковское семейство (113). Свойства выборочных функ­ций марковских процессов (115). Стандартные марковские процессы (117). Прогрессивно измеримые процессы (126).
Глава II Однородные марковские процессы
§ 1. Основные определения 131
Полугруппа, связанная с однородным марковским процес­сом (136). Обрывающийся марковский процесс (138).
§ 2. Резольвента и производящий оператор слабо измеримого
марковского процесса 139
Основные свойства резольвенты (142). Производящий опе­ратор полугруппы (147). Теорема Хилле—Иосида- (150).
§ 3. Стохастически непрерывные процессы 155
Процессы в метрическом пространстве (158). Феллеров- ские процессы (160).
§ 4. Феллеровские процессы в локально компактных простран­ствах 166
Феллеровские процессы на компакте (166). Регулярные процессы в локально компактных пространствах (170). Обрывающиеся процессы (177). Потенциал обрывающе­гося регулярного процесса (181).
§ 5. Строго марковские процессы в локально компактных
пространствах 190
Определение строго марковского процесса (190). Полугруп­па в марковские моменты времени. Характеристический опе­ратор (192). Характеристические операторы процессов на компакте (196). Процессы в локально компактных про­странствах, обрывающиеся в момент первого выхода из всех компактов (198). Условия ограниченности процесса (220). Необрывающиеся строго марковские процессы (224).
§ 6. Мультипликативные, аддитивные функционалы, эксцес-
сивные функции 243
Определение и простейшие свойства аддитивных и муль­типликативных функционалов (243). Непрерывные адди­тивные однородные функционалы (250). U^-функцио- . налы (257). Случайная замена времени (276).
Глава III Скачкообразные процессы
§ 1. Общие определения и свойства скачкообразных процессов 280
§ 2. Однородные процессы Маркова со счетным множеством
состояний 294
Вероятности перехода, резольвенты (295). Дифференци- руемость вероятности перехода (299). Примеры нерегу­лярных процессов (309). Регулярные процессы (317). Про­цессы с обрывом на бесконечности (329). Необрываю- щиеся процессы (333).
§ 3. Полумарковскне процессы 336
Конструктивное определение полумарковского процес­са (336). Общее определение полумарковского процес­са (345). Процессы с полумарковским вмешательством случая (355). Эргодическая теорема для процессов с дис­кретным вмешательством случая (362).
§ 4. Марковские процессы с дискретной компонентой .... 372 Определение. Основные характеристики (372). Характе­ристический оператор. Гармонические функции (378).
Глава IV Процессы с независимыми приращениями
§ 1. Определение. Общие свойства 383
Одномерные процессы с независимыми приращениями (385). Процессы с независимыми приращениями в сепарабель­ном банаховом пространстве (401). Некоторые свойства выборочных функций (406).
§ 2. Однородные процессы с независимыми приращениями.
Одномерный случай 416
Резольвента процесса (418). Ступенчатые процессы (429). Распределение времени достижения и величины пере­скока для процессов общего вида (440). Совместное распределение supremum'a, infimum’a и значения про­цесса (450). Процессы со скачками одного знака (455).
§ 3. Свойства выборочных . функций однородных процессов
с независимыми приращениями в 91х 463
Локальные свойства выборочных функций (464). Рост про­цессов на бесконечности (488),
§ 4. Конечномерные однородные процессы с независимыми
приращениями 495
Резольвента, характеристический, производящий опера­торы (497). Время пребывания процесса в области и зна­чение в момент выхода (508). Поведение процесса при / —> оо (513). Неотрицательные аддитивные функцио­налы (521). Многомерный винеровский процесс (533).
Глава V Ветвящиеся процессы
§ 1. Ветвящиеся процессы с конечным числом частиц .... 547 Определение. Производящие функции (547). Ветвящиеся процессы с дискретным временем (556). Моменты (время дискретное) (558). Субкритнческий случай (566). Крити­ческий случай (573). Процессы с непрерывным време­нем (576) Моменты (время непрерывное) (579).
§ 2. Ветвящиеся процессы с непрерывным множеством со­стояний 586
§ 3. Общие марковские процессы с ветвлением 598
Конструктивное описание процесса (598). Построение мар­ковского процесса (607). Характеристический оператор
процесса (616).
Дополнение к § 1 главы V 623
Примечания 628
Литература 632
Указатель 637

----------- Том 3 ---------------------
Предисловие
Глава I
Мартингалы и стохастические интегралы
§ I. Мартингалы и их обобщения 7
Обзор предыдущих результатов (7). Квазимартингалы (12) Остановка и случайная замена времени (17). Теорема о раз­ложении супермартингалов (24). Обобщения теоремы Мей­ера (38). Регулярные супермартингалы (41). Квадратично интегрируемые мартингалы (50). Локальные квадратично интегрируемые мартингалы (54). Мартингалы с непрерыв­ными характеристиками (56).
§ 2. Стохастические интегралы 65
Интегрирование кусочно постоянных функций (65). Стоха­стический интеграл в смысле сходимости в среднем ква­дратичном (72). Общее определение стохастического интеграла по мартингалу (76). Интегрирование по локаль­ным квадратично интегрируемым мартингалам (82). Век­торные- стохастические' интегралы (84). Стохастические интегралы по мартингальным мерам (85).
§ 3. Формула Ито 91
Формула Ито для непрерывных процессов (92). Стоха­стические дифференциалы (99). Некоторые применения формулы Ито (101). Оценки момеьтов непрерывных мар­тингалов (103). Представление мартингалов с помошью стохастического интеграла по винеровской мере (106). Разложение локального квадратично интегрируемого мар­тингала на непрерывную и разрывную компоненты (115). Стохастические дифференциалы функций от разрывных мартингалов (128). Обобщенная формула Ито (139). Неко­торые следствия обобщенной формулы Ито. Обобщение теоремы Леви (144). Оценка моментов интегралов по мар- тингальной мере (147). Решение простейшего стохасти­ческого дифференциального уравнения (150). Пример. Мультипликативное разложение положительного супер­мартингала (152).
Глава II
Стохастические дифференциальные уравнения
§ I. Общие вопросы теории стохастических дифференциальиых
уравнений 154
Стохастический криволинейный интеграл (161). Стохасти­ческий криволинейный иьтеграл как функция верхнего пре­дела интегрирования (174). Теоремы существования и единственности решений стохастических дифференциаль­ных уравнений (180). Оценки моментов решений стохасти­ческих дифференциальных уравнений (197). Непрерывная зависимость решений стохастических уравнений от пара­метра (203). Конечно-разностные аппроксимации решения стохастического уравнения (207).
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения без после­действия ' 211
Решение стохастического дифференциального уравнения без последействия как марковский процесс (211). Диф- ференцируемость по начальным данным решений стохасти­ческих уравнений (224). Уравнение А. Н. Колмогорова (234). Пример. Распределение аддитивного функционала от винеровского процесса (243).
§ 3. Предельные теоремы для последовательностей серий слу­чайных величин и стохастические дифференциальные урав­нения 247
О слабой компактности мер в S5, соответствующих после­довательности серий случайных величин (249). Условия сходимости к винеровскому процессу (257). Условия схо­димости к произвольному процессу с независимыми при­ращениями (264). Предельные теоремы для последова­тельностей серий случайных векторов с конечными моментами второго порядка (267). Предельные теоремы для стохастических дифференциальных уравнений (276). Пример. Колебания с малой нелинейностью (286).
Глава III
Стохастические дифференциальные уравнения для нелрерывных процессов
и непрерывные марковские процессы в &
§ 1. Процессы Ито 291
Определение и некоторые свойства (291). Пространство Ито (300). Процессы Ито и процессы диффузионного типа (321). Абсолютно непрерывная замена меры (329).
§ 2. Стохастические дифференциальные уравнения для про­цессов диффузионного типа 339
О мерах, соответствующих решениям уравнения (1) (341).
О существовании решений стохастических дифферен­циальных уравнений (351). Единственность решения (358). Процессы Ито и стохастические дифференциальные урав­нения (367).

§ 3. Диффузионные процессы в 370
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих диф­фузионным процессам (371). Существование решения (38-1). Единственность решения (395). Непрерывная зависимость решения от параметров (397). Однородные диффузион­ные процессы (405). Однородные процессы с интегриру­емым ядром потенциала (409).
§ 4. Непрерывные однородные марковские процессы в Ят. 420 М-функционалы (421). Дифференцирование М-функциона- лов (433). Максимальные функционалы. Ранг процесса (443). Случайная замена времени (450). Непрерывные про­цессы в (461).
Примечания 489
Литература . 492