[Анфиса]

Geometry and Billiards / Геометрия и биллиарды
Год: 2011
Автор: Tabachnikov S. / Табачников С.
Переводчик: Перевод с английского Ю. А. Сагдеевой
Издательство: М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»
ISBN: 978-5-93972-905-5
Язык: Русский Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы + слой распознанного текста
Интерактивное оглавление: Нет
Количество страниц: 182 Описание: Теория математических биллиардов описывает движение материальной точки в области с упругим отражением от границы или, что то же самое, поведение лучей света в области с зеркальной границей. В книге отражены связи теории биллиардов с дифференциальной геометрией, классической механикой и геометрической оптикой. Кроме того, подробно изучаются вариационные принципы биллиардной динамики, симплектическая геометрия лучей света и интегральная геометрия, существование и несуществование каустик, оптические свойства кривых и поверхностей второго порядка, вполне интегрируемые биллиарды, периодические биллиардные траектории, биллиарды в многоугольниках, механизмы возникновения хаоса, а также менее известные внешние биллиарды.
Особенностью издания, основанного на специальном курсе для студентов, являегся большое количество отступлений: эволюты и эвольвенты, теорема о четырех вершинах, математическая теория радуги, распределение первых цифр в различных последовательностях, теория Морса, теорема Пуанкаре о возвращении, четвертая проблема Гильберта, теорема Понселе и многое другое. Книга богато иллюстрирована. В дополнении, написанном для русского издания, освещены результаты самых последних исследований. Опубликовано группой

Предисловие 9
Глава 1. Предпосылки: механика и оптика 11
1.1. Отступление. Вычисление π с помощью биллиарда 15
1.2. Отступление. Конфигурационные пространства 19
1.3. Отступление. Принцип Гюйгенса, финслерова метрика, финсле-
ровы биллиарды 22
1.4. Отступление. Брахистохрона 25
Глава 2. Биллиард в круге и квадрате 29
2.1. Отступление. Распределение первых цифр и закон Бенфорда 31
2.2. Отступление. Последовательности Штурма 38
Глава 3. Биллиардное отображение и интегральная геометрия . 41
3.1. Отступление. Четвертая проблема Гильберта 50
3.2. Отступление. Симплектическая редукция 56
Глава 4. Биллиарды внутри конических сечений и квадратичных
поверхностей 58
4.1. Отступление. Поризм Понселе 65
4.2. Отступление. Полная интегрируемость, теорема Арнольда-
Лиувилля 75
Глава 5. Существование и несуществование каустик 78
5.1. Отступление. Эволюты и эвольвенты 79
5.2. Отступление. Математическая теория радуги 83
5.3. Отступление. Теоремы о четырех вершинах и Штурма-Гур-
вица 86
5.4. Отступление. Проективная плоскость 91
Глава 6. Периодические траектории 102
6.1. Отступление. Геометрическая теорема Пуанкаре 106
6.2. Отступление. Периодические орбиты Биркгофа и теория
Обри-Мазера 108
6.3. Отступление. Теория Морса 109
Глава 7. Биллиарды в многоугольниках 114
7.1. Отступление. Теорема Пуанкаре о возвращении 116
7.2. Отступление. Замкнутые геодезические на поверхностях
многогранника, кривизна и теорема Гаусса-Бонне 121
Глава 8. Хаотические биллиарды 135
Глава 9. Двойственные биллиарды 146
Дополнение 165
Литература 167
Дополнительная литература 176
Предметный указатель 178